III - Les modèles stellaires
Les étoiles sont, dans la période d’observation, en équilibre entre pression de radiations et force gravitationnelle. De plus les pertes d’énergie dans le milieu interstellaire doivent être compensées par une production d’énergie.
1- Temps caractéristiques
1.1. Temps de chute libre
Si les forces de pression disparaissaient, en combien de temps les forces de gravitations entraîneraient-elles l’effondrement de l’étoile ? Ce temps est très bref, très inférieur à l’âge du Soleil. Si l’énergie interne s’arrêtait brusquement le rayon du Soleil diminuerait en moins d’une heure et des modifications de son rayon seraient observables dans un temps assez court. Par contre des étoiles variables sont instables par modifications plus ou moins rapides de la production d’énergie interne qui entraîne un déséquilibre temporaire entre les forces gravitationnelles et ces forces de pression interne. Ce n’est pas le cas des étoiles de la séquence principale.
Calcul dans le fichier Excel « temps caractéristique Soleil.xlsx »
Calcul du temps de chute libre dans le Soleil
M sol en kg : 1,989E+30
R sol en mètres : 695990000
G : 6,67E-11
t en secondes : 2254,104713
t en minutes : 37,56841188
Temps caractéristique (t/√2) : 26,5648788
Au bout de 26 minutes l’effondrement du Soleil commencerait et la vitesse de l’effondrement variant comme le carré du temps, la diminution du rayon du Soleil serait vite visible.
1.2. Temps thermique de Kelvin-Helmholtz.
Si l’énergie du Soleil était produite par l’énergie potentielle gravitationnelle Ω, le Soleil aurait une durée de vie de 30 millions d’années seulement.
L’énergie totale « contenue » dans la masse du Soleil est :
La luminosité L de l’étoile étant la puissance rayonnée par unité de temps, le temps de Kelvin-Helmholtz est donc: 
La luminosité du Soleil est de 3,826.1026 J.s-1 d’où t serait égal à 31 millions d’années, plus court que l’âge de la Terre connu par la géologie.
1.3. Temps nucléaire.
La fusion nucléaire donne une durée totale de vie pour le Soleil d’environ 10 milliards d’années. Ce sont Arthur Eddington et Hans Bethe qui sont à l’origine de cette découverte. Dans cette hypothèse la durée de vie de l’étoile serait approximativement le temps au bout duquel toute la masse M serait consommée. Or E = mc².
Pour le Soleil de luminosité L, ce temps serait donc Mc² / L soit 1,5.1013 ans. Mais le phénomène est plus complexe car, comme nous le verrons, sur la séquence principale, le Soleil fusionne son hydrogène mais une fraction de la masse est convertit en positron et en neutrinos. La fraction de masse convertie en énergie est donnée par :
De plus seule la fraction de la masse du Soleil portée à une température suffisante (10 millions de degrés) est soumise aux phénomènes de fusion (soit 10%). En appliquant ces corrections le temps de vie du Soleil est d’environ 1010 ans.
2. Les équations du modèle stellaire
Etape 1 : définir deux équations fondamentales :
2.1. L’équilibre hydrostatique entre la pression liée à la production d’énergie et les forces de gravitation est réalisé pour les étoiles situées sur la SP. Au-delà les étoiles ont de brèves périodes d’instabilité.
2.2 Conservation de la masse en fonction du rayon et de la densité du matériau stellaire.
Etape 2 : A partir de ces deux équations on peut en déduire deux paramètres fondamentaux : la pression au centre de l’étoile et sa température effective.
2.3. Pression centrale minimale de l’étoile estimée à partir de la loi de l’équilibre hydrostatique et celle de la conservation de la masse.
Pour le Soleil elle est supérieure à 4,5.1013 N.m-2 soit 4,5.108 atmosphères.
2.4. Théorème du viriel. Il permet de déterminer ensuite la température de l’étoile en son centre.
Etape 3 : connaissant la pression et la température de l’étoile on peut en déduire l’état des matériaux situés en son centre. Pour le Soleil on obtient la valeur :
Tmoyenne > 2.106 K avec une densité d’environ 1,4.103 kg.m-3 proche de celle de l’eau.
2.6. Etat des matériaux stellaires. C’est un plasma formé de particules ionisées portées à haute température et à une pression élevée compatible malgré tout avec des propriétés proches de celles d’un gaz parfait. Dans ce cas la distance entre les particules (10-10 m) est en effet très supérieure à la taille des particules (10-15m).
N.B. La pression de radiation est négligeable dans le Soleil. Ce n’est pas vrai dans les objets compacts.
2.7. La production d’énergie :
Quelle quantité de sa masse le Soleil a-t-il convertie en énergie depuis sa formation ?
La luminosité solaire est de 4.1026 W ou joules par secondes. Le Soleil a brillé pendant au moins 3.1016 secondes et a donc perdu 1,2.1043 joules. Avec la relation E=Mc² on peut calculer la masse perdue : 1026 kg soit environ 10-4 masse solaire : un dix millième de sa masse. Comment s’est produite cette énergie ?
Refroidissement progressif et/ou production d’énergie par contraction gravitationnelle.
Compte-tenu de la température actuelle du Soleil combien de temps pourrait-il encore irradier ? Les calculs aboutissent à un temps de 3.107 années. Cette hypothèse ne peut donc pas être retenue.
Réactions chimiques de combustion. Leur rendement est faible : 5.10-10 de l’énergie de masse. Dans ces conditions la masse du Soleil n’aurait pas suffi pour produire l’énergie nécessaire depuis 4 milliards d’années.
Réactions nucléaires.
La fusion a un rendement de 10% de l’énergie de masse.
2.8. Le transport de l’énergie à l’intérieur des étoiles.
Convection
Conduction
Radiation.
Au total quatre équations déterminent la structure de l’étoile :
Equilibre hydrostatique
Conservation de la masse
Production d’énergie
Transport par radiation.