Schémas explicatifs des principales découvertes grecques

Estimation de la distance Terre-Soleil par Aristarque de Samos.

Il pense qu’au moment d’un quartier, la Lune reçoit les rayons du Soleil perpendiculairement à sa surface. L’angle formé par la Terre, la Lune et le Soleil est de 90°.

L’autre angle formé par la Lune, la Terre et le Soleil, dont le centre est la Terre, est d’autant plus grand que le Soleil est plus éloigné. Il se rapproche de plus en plus de 90° (sans jamais atteindre réellement cette valeur).

Aristarque mesure cet angle et le trouve de 87°. En réalité il est difficile de savoir à quel moment la Lune est exactement au quartier. La mesure actuelle de l’angle est de 89,85°.

Avec cette mesure de 87° Aristarque en déduit la distance Terre-Soleil par rapport à la distance Terre-Lune.

Les Grecs de son époque connaissent la trigonométrie. Ils ont établi des tables.

Terre-Lune / Terre-Soleil= cosinus de l’angle mesuré. Il en déduit que le Soleil est 19 fois plus éloigné de la Terre que ne l’est la Lune.

Figure 1 : estimation de l’éloignement du Soleil.

Aristarque estime le diamètre du Soleil.

Figure 2: Estimation du diamètre du Soleil par Aristarque.

Il observe les éclipses de Lune. Il constate que les plus longues éclipses durent environ deux heures. A chaque heure la Lune avance par rapport à l’ombre de la Terre de une fois son diamètre. Il en conclut que le diamètre de la Lune est environ trois fois plus petit que celui de la Terre.

Au moment d’une éclipse de Soleil, le diamètre apparent de la lune est à peu près égal à celui du Soleil.

Comme le Soleil est 19 fois plus éloigné de la Terre que la Lune, il en déduit que le diamètre du Soleil est 19 X un tiers soit 19 X 0,3 six fois plus gros que la Terre.

Il restera à mesurer le diamètre de la Terre pour connaître ceux de la Lune et du Soleil.

En réalité ces estimations sont erronées. Nous avons vu l’erreur de mesure de l’angle Lune-Terre-Soleil mais Aristarque surestime le diamètre de la Lune car il ne sait pas que l’ombre de la Terre lors d’une éclipse est un cône et non un cylindre. Le Soleil est 97,5 fois plus gros que la Terre mais ces calculs étaient déjà révolutionnaires puisque beaucoup à cette époque pensaient le Soleil de la même taille que la Lune et bien plus proche de la Terre.

Mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène d’Alexandrie:

Eratosthène savait, grâce aux travaux d’Aristarque que le Soleil était très éloigné de la Terre. Il en déduit qu’on pouvait représenter les rayons du soleil comme des droites parallèles.

Il avait entendu raconter qu’à Syène, au sud de l’Egypte, à midi, le jour le plus long de l’année le Soleil éclairait le fond d’un puits. Les rayons étaient donc en ce lieu dirigés exactement au centre de la Terre. Il connaissait exactement la distance qui séparait cette ville d’Alexandrie grâce aux mesures faites par les arpenteurs appointés par le Pharaon.

Il eut donc l’idée de mesurer à midi, au jour le plus long de l’année l’ombre portée par un obélisque situé à Alexandrie.

Les connaissances géométriques accumulées depuis Thales lui permirent un calcul simple :

- L’angle mesuré à partir de l’ombre de l’obélisque à midi était de 7°.

- La distance Syène-Alexandrie correspond donc à une portion de la circonférence terrestre égale à 7/360. La distance connue équivaut à 850 de nos kilomètres.

- La circonférence de la Terre est donc de 820 X 360/7 soit 42 000 km.

- Le rayon de la Terre est donné par la formule de la circonférence=2 X PI X Rayon

Ces mesures ne sont pas loin de la réalité d’aujourd’hui qui, avec un angle de 7,5° conduisent à une circonférence de 39 360 km.

Figure 3 : Mesure de la circonférence de la Terre.

L’estimation du diamètre du Soleil devient ensuite possible

Mesure de la distance Terre-Lune par Hipparque.

Il observe que la durée d’une éclipse de Lune doit être en rapport avec la distance Terre-Lune. Plus cette distance est petite, c’est à dire la Lune proche de nous, plus la durée de l’éclipse sera longue.

Il sait

- Par les travaux d’Aristarque que le Soleil est très éloigné et qu’ainsi ses rayons sont parallèles.

- Que la Lune fait le tour de la Terre en 29,5 jours soit 708 heures.

- Que les éclipses les plus longues durent deux heures et demie.

Il en déduit que la durée de l’éclipse correspond à 2, 5/708 soit 0,35% de la durée de révolution de la Lune autour de la Terre.

Vu de la Terre, le diamètre angulaire du Soleil est mesuré par Hipparque à 0,5°.

Connaissant le diamètre de la Terre (Eratosthène), il en déduit la distance Terre-Lune soit 65 fois le rayon de la Terre.

Voici la démonstration de Hipparque :

a= 0,5° diamètre angulaire du Soleil

b= 2,5 X 360°/708 h   la durée de l’éclipse est de 2,5 heures et la période de rotation de la Lune de 708 heures.

c est à peu près égal à 90° si le Soleil est très éloigné de la Terre.

d est inconnu

On a sur la figure :

a/2 + c + d + b/2 = 180°       d = 180° - ( a/2 + c + b/2)

En remplaçant les angles par leurs valeurs d = 180 - 0,25 – 90 – 0,63 = 89,12°

Avec cela Hipparque calcule la distance de la Terre à la Lune :

Distance Terre-Lune (CL) = Diamètre de la Terre (CT) X cos 89,12 = 65 fois le rayon de la Terre calculé par Eratosthène.

Calcul distance Terre-Lune par Aristarque

Figure 4 : calcul précis de la distance Terre-Lune par Hipparque .