III – La physique de l’intérieur des étoiles.

Quelle est la densité au sein d’une étoile ?

Il faut considérer trois cas : densité au centre, densité en surface, densité moyenne et plusieurs types d’étoiles en fonction de leur évolution sur le diagramme HR. En pratique objets « normaux » et objets compacts (naines blanches et étoiles à neutrons).

1.      1. Un gaz parfait ?

Un gaz est parfait lorsque la distance entre les atomes est très grande par rapport à la dimension des atomes (ou des molécules). Dans ces conditions les interactions entre particules sont rares. Dans un gaz parfait l’augmentation de la température entraîne une augmentation de pression et du volume. Or la pression au centre de l’étoile est très élevée. Dans ces conditions, la distance entre particules est très petite. Mais dans cette situation de haute température interne, le gaz à l’intérieur de l’étoile est ionisé : c’est un plasma. La taille des particules est celle des ions et pas des atomes, donc plus petits qu’eux. En conséquence les gaz de l’intérieur des étoiles se comportent comme des gaz parfaits et donc la pression dépend de la température[i]:

  P=n.k.T

 n est le nombre de particules par m3 (densité de particules N/V), P la pression, k la constante de Boltzman et T la température.

 Avec une série de propriétés physiques on va en déduire la masse moyenne des particules de l’étoile (en dehors de sa surface).

 Reprenons.

   P = n.k.T et ρ = n . m  où m est la masse moyenne des particules et ρ la masse moyenne par m3

 Et don: P = k.T. ρ/m

 Une étoile, au cœur, est formée d’hydrogène et d’autres atomes dont la masse moyenne µ n’est pas connue. On l’évalue en fonction de la masse de l’atome d’hydrogène mH prise comme unité. Avec cette définition on a ainsi : ρ = n.mH.µ et P = k.T.ρ/ mH. Il faut rajouter aussi la pression de radiation Prad = aT4/3 où a est la constante de densité de rayonnement.

 Comment calculer µ ? Il nous donnera la clef de la composition interne des étoiles (Hydrogène : X, Hélium ; Y et métaux ; Z).

Ce sont des fractions et donc X+Y+Z=1 (100%)

 Dans un m3 d’étoile on a donc:

  Xρ d’hydrogène

  Yρ d’hélium

  Zρ de métaux

 Regardons comment se décomposent ces éléments dans un gaz ionisé :

 X : 1 proton et un électron ; une  mH et un électron.

Y : 2 protons, 2 neutrons et 2 électrons : 2+2 = 4 mH et deux électrons.

Z : plus complexe : carbone, oxygène… En pratique on prend une demi-particule par mH :un électron pour deux nucléons (exemple du carbone 6 protons, 6 neutrons et 6 électrons…)

 Ainsi le nombre de particules par m3 est donc :

 Pour

   H : 2Xρ/mH

   He : 3Yρ/4mH

   Métaux : Zρ/2mH

 Et donc le nombre de particules par m3 sera :

 n = (2Xρ/mH)+( 3Yρ/4mH)+( Zρ/2mH). On met les fractions au même dénominateur, 4mH,  et on place en facteur ρ/4mH :

    n= (ρ/4mH) (8X + 3Y + 2Z)

    or X+Y+Z=1 d’où Z=1-X-Y. On remplace Z par sa valeur :

    n=(ρ/4mH) (6X + Y + 2)

 Comme ρ = n.mH  , µ = 4/6X+Y+Z  ce qui donne la valeur de µ au cœur de l’étoile.

 Pour le Soleil, où X=0,747, Y=0,236 et Z=0,017 : µ = 0,62 : la masse moyenne des particules dans le Soleil représente environ la moitié de la masse du proton.

 

2.      2. Un gaz dégénéré ?

Pour des densités beaucoup plus élevées, comme dans les étoiles compactes, la distance entre particules est de l’ordre du diamètre des particules. Le gaz est dit dégénéré : la pression et le volume ne varient pas comme les gaz parfait en fonction de la température.

Cet effet est dû aux interactions entre électrons libres du plasma qui obéissent au principe d’exclusion de Pauli. [ii]

La conséquence est que dans ces étoiles les particules du gaz dégénéré résistent à la pression et le volume qu’ils occupent ne peut être diminué. En outre, la pression dépend peu de la température.

Cela concerne les naines blanches (gaz d’électrons dégénérés) et les étoiles à neutrons.

3.      3. L’opacité à l’intérieur des étoiles

On appelle ici opacité, ce qui s’oppose à la progression du rayonnement à travers la matière. Par exemple, un gaz entièrement ionisé est opaque au rayonnement (l’Univers à son début).

L’inverse de l’opacité exprime le libre parcours moyen du rayonnement (le photon) dans le milieu, c’est-à-dire la distance que le photon peut parcourir sans rencontrer une particule. La rencontre va produire une diffusion des photons ou une absorption selon les processus lié-lié, lié-libre ou libre-libre.

 

Types d’interactions.

 Cette opacité dépend donc de la composition chimique, de la densité du gaz mais aussi de sa température.

a)      a)  La diffusion change la direction des photons dans l’étoile et ralentit leur sortie hors de l’étoile. Ce processus intervient pour une fréquence du rayonnement (ν) telle que hν soit très inférieur à mc² où m est la taille de la particule responsable de la collision.

b)     b) Absorption lié-lié : un photon fait passer la particule dans un état d’énergie plus grand mais cet état reste inférieur à celui qui aboutirait à l’ionisation. L’énergie doit être telle que :

E2 – E1 = hν lié-lié

C’est ce mécanisme qui donne les raies spectrales du spectre stellaire formées à la surface des étoiles. Ce processus est faible dans l’intérieur de celles-ci car peu d’électrons sont en orbites du fait de la forte ionisation.

c)      c) Absorption lié-libre : le photon a assez d’énergie pour ioniser l’atome : l’électron devient « libre ». La fréquence de ce photon est telle que :

E3-E1=hνlié-libre. Ce processus est également rare faute d’électrons en orbite (liés) dans le centre des étoiles.

d)     d) Absorption libre-libre : c’est le processus le plus fréquent. Un électron libre passe d’un niveau d’énergie E3 à E4 sous l’action d’un photon d’énergie quelconque.

e) Quelle est la valeur de cette opacité ? Les calculs sont compliqués. On peut dire que l’opacité suit une loi de puissance fonction de la densité et de la température :

K = K0

 Où K0 dépend de la composition chimique de l’étoile. α et β sont des fonctions de la densité et de la température.



[i] La loi peut être formulée ainsi :

  • Le nombre de moles est proportionnel au volume du gaz (V).
  • Le nombre de moles est proportionnel à la pression à laquelle est soumis le gaz (p).
  • Le nombre de moles est inversement proportionnel à la température (T).

On obtient ainsi la formule :

 n = p.V / R.T

Plus connue sous cette forme :

 p.V = n.R.T

Cette équation est une équation d'état, c'est-à-dire qu'elle relie différents paramètres physiques du système étudié (ici, un gaz parfait) et permet de déterminer l'état de ce système.

R est la constante des gaz parfaits, avec R = 8,314 472 J·K-1·mol-1 ; on a en fait R = NA·kBNA est le nombre d'Avogadro et kB est la constante de Boltzmann.

On peut également utiliser les constantes spécifiques des gaz parfaits Rs propres à chaque gaz ; l'équation devient alors :

 p.V = m.Rs.T

Unités

 

[ii] On dit de la matière qu'elle est dégénérée lorsque sa densité est suffisamment élevée pour que le principe d'exclusion de Pauli intervienne à l'échelle macroscopique, ce qui a pour conséquence de modifier la relation qui lie normalement la pression et le volume d'un gaz avec sa température.

À partir d'une certaine pression (ou d'une certaine densité), la matière est déstructurée et se comporte comme un gaz. Elle subit alors une force qui s'oppose à sa contraction et empêche sa densité d'augmenter, c'est la pression de dégénérescence. Cet état de la matière se rencontre à l'état naturel dans les étoiles, et plus particulièrement dans les étoiles en fin de vie que sont les naines blanches et les étoiles à neutrons.

Le principe d'exclusion de Pauli interdit à deux fermions, par exemple les électrons, d'être dans le même état quantique dont les deux variables sont :

-        le spin, de valeur +½ ou -½,

-        le niveau d'énergie qui correspond à une orbitale autour du noyau atomique.

Pour décrire les électrons on utilise un espace de phase à six dimensions : 3 de coordonnées spatiales x,y,z et trois donnent les moments dans ces trois directions px, py,pz.

Un élément de volume ΔV est donné par :

ΔV = Δx Δy Δz Δpx  Δpy  Δpz.

Le principe d’incertitude indique que le plus petit élément est de l’ordre de h3 où h est la constante de Planck. Selon le principe d’exclusion de Pauli, il ne peut pas y avoir plus de deux électrons de spins opposés dans le même élément de volume. Quand la densité augmente, tous les éléments de volume de phase sont remplis jusqu’à un certain moment limite. Une telle matière est dite dégénérée.

Un gaz d’électrons commence à être dégénéré lorsque sa densité est de l’ordre de 107 kg/m3.

La pression d’un gaz dégénéré est donné par :

P ≈ (h2/me) (N/V)5/3

P ≈ où me est la masse de l’électron et N/V le nombre d’électron par unité de volume.

En terme de densité on peut écrire :

ρ = N µe mH / V où µe est le poids moléculaire moyen par électron libre en unités de mH.

Et : µe  =1/X+2/4Y+1/2Z = 2/X+1

Dans le Soleil la proportion d’hydrogène X est de 0,71 d’où

 

 

L’expression finale pour la pression est ainsi :

 

Ceci est l’équation d’état d’un gaz d’électrons dégénéré. Contrairement à un gaz parfait, la pression ne dépend pas de la température mais seulement de la densité et de la masse des particules.

Dans une étoile normale la pression du gaz dégénéré est négligeable mais dans une naine blanche où la densité est de l’ordre de 108 kg/m3, la pression du gaz dégénéré est prédominante malgré les hautes températures.

Pour des densités encore plus grandes, les moments des électrons deviennent si grands que leur vitesse approche celle de la lumière: les électrons deviennent relativistes et l’on doit utiliser la théorie de la Relativité dans les formules. La pression devient :

Dans le cas relativiste, la pression est proportionnelle à la densité avec la puissance 4/3 plutôt que 5/3 comme dans le cas non relativiste. Le passage au cas relativiste se fait pour une densité de 109 kg/m3.

Dans une étoile le gaz n’est jamais totalement ionisé ni totalement dégénéré. La formule de la pression est donc bien plus complexe. Elle peut cependant être calculée pour chaque cas. On peut écrire :

P = P(T.ρ.X.Y.Z)