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cas pour la gravitation. On doit alors utiliser une intégrale pour calculer le travail effectué pour un
déplacement donné. On comprend au passage que Newton ait eu besoin d'inventer ce type de
calcul (c'était vrai aussi pour les démonstrations données dans les Encadrés).
L'expression du petit travail élémentaire dW fourni pour un déplacement élémentaire dr est :

dW = F ) r ( dr (19)
Pour un déplacement de r 1 à r 2, le travail fourni sera :
W = ∫ 2 r F ) r ( dr (20)
1 r
Pour l'action d'un corps sur un autre par gravitation (par exemple l'attraction par la Terre de
masse M et d'un petit caillou de masse m), nous aurons donc :

W = ∫ 2 r G Mm dr = - G Mm + G Mm (21)
1 r r 2 r r
2 1

Ce travail ne sera pas perdu pour le système Terre-caillou, il sera sous une forme différente, par
exemple sous forme de vitesse. On dira que le caillou a acquis de "l'énergie" cinétique. Travail et
Energie sont deux aspects d'une même chose, d'ailleurs assez mystérieuse, comme l'était la
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masse . L'énergie du caillou, d'une énergie gravitationnelle potentielle, est devenue une énergie
cinétique (mais le système Terre-Caillou a toujours la même énergie globale). Le caillou est
toujours considéré comme appartenant à la Terre et à sa sphère d'action.
On considère que l'attraction gravitationnelle a une portée infinie. Il semble donc
impossible de quitter l'appartenance à la sphère d'action de la Terre. En pratique c'est possible, si
on va suffisamment loin pour que l'action de la Terre soit négligeable devant celle éventuellement
fournie par d'autres corps.

Nous allons calculer la vitesse que le caillou devrait prendre pour se libérer, à coup sûr, de
l'attraction terrestre. Il faut avant tout définir l'énergie cinétique d'une masse en mouvement.
Nous allons le faire dans le cas particulier de la gravitation, mais la formule sera valable partout
en mécanique newtonienne. Si un poids mg tombe, sans vitesse initiale, d'une petite hauteur h,
assez petite pour que la variation de g soit négligeable, le travail fourni sera mg h. Ce travail va se
retrouver sous forme d'énergie cinétique. L'énergie cinétique E c se mesurera donc par cette même
valeur E c= mgh. Or nous savons que h est liée à la vitesse de chute (voir relation E1-4) :
1 2 1 g 2 t 2 v 2
h = gt = =
2 2 g 2 g

Reportons cette valeur dans l'expression de E c, et nous trouvons :

D 2 (22)
1
mv
E =
c
2

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Ces deux concepts mystérieux de masse et d'énergie seront réunis par la physique moderne en une seule et même
entité.