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On s'aperçoit (Figure 3) que la distance entre les deux corps est a 1+a 2, chaque corps tournant sur
un cercle différent autour du centre de gravité commun. La force d'attraction gravitationnelle sera
donc égale à :
Gm m
F = 1 2
a ( + a ) 2
1 2

Mais la force centripète sera différente pour chacun des deux corps. Pour le corps numéro 1 on
aura (en remplaçant la vitesse par son expression tirée de la longueur de l'orbite et de la période) :

Gm m m m 4p 2 a 2
2
1
2
1
1
1
=
×
-- v× = --
1
( a + a ) 2 a a T 2
1 2 1 1
Soit en simplifiant par m 1
Gm 2 = 4p 2 a 1
( a + a ) 2 T 2 (15)
1 2

Pour le corps numéro 2 on aura de manière similaire :

Gm 4p 2 a
1 = 2
a ( + a ) 2 T 2 (16)
1 2

En ajoutant (15) et (16) on obtient la relation généralisée de Kepler-Newton, qui permet de traiter
des mouvements orbitaux réciproques de deux corps quelconques (mais petits devant a 1 et a 2) :

G ( m + m ) a ( + a ) 3
1 2 = 1 2 (17)
4p 2 T 2

Exercice : Application à la masse du couple Terre plus Lune.
L'application à la Lune (Rayon de l'orbite a= 384 400 km et période sidérale P=27,3215 jours)
tournant autour de la Terre, conduit directement à l'estimation de la masse de la Terre plus de la
Lune (on rappelle que a= a 1+a 2) :

6
4p 2 a 3 39, 4784 ( 384, 4´ 10 ) 3
24
M +m = ----- = 6, 03´ 10
=
Terre Lune 2 - 11 2
24 ´
G P 6, 67´ 10 ( 27, 3215 ´ 60´ 60)

24
Or nous avons déjà calculé la masse de la Terre seule : 5,96´10 kg
Nous en concluons que la masse de la Lune est égale à la différence:

24 22
m Lune = (6,03 - 5,96)´10 = 7,00±2´10 kg