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Les lois de Kepler
L'expérience de Cavendish va ouvrir la voie de la détermination des masses des objets
astronomiques. Nous allons voir comment ont été mesurées les masses du Soleil, de la Lune, des
planètes, et des étoiles. Mais auparavant nous devons faire quelques rappels importants sur les
lois de Kepler.
En étudiant quelques planètes gravitant autour du Soleil, Kepler a montré empiriquement,
que le rapport du cube du rayon de l'orbite (noté a) et du carré de la période de révolution (notée
T) était constant pour toutes les planètes. Ceci s'exprime mathématiquement par une relation
simple, très importante d'un point de vue pratique, que l'on appelle la troisième loi de Kepler :
a 3
= cte (10)
T 2
La constante est la même pour toutes les planètes. En fait Kepler a même été plus loin (en
particulier avec la planète Mars), il a montré que les orbites n'étaient pas des cercles mais des
ellipses dont le Soleil occupait un des foyers (première loi de Kepler). Dans la troisième loi de
Kepler, la grandeur a est en réalité le demi grand axe de l'ellipse. Il a montré aussi que la vitesse
orbitale des planètes n'était pas constante, mais qu'elle était plus grande quand la planète était
plus proche du Soleil. Il a exprimé cela en disant que le rayon reliant la planète au Soleil balayait
des aires égales en des temps égaux (deuxième loi de Kepler). Pour l'heure, nous considérerons
que les orbites des planètes sont des cercles et donc que le demi grand axe n'est autre que le rayon
de l'orbite circulaire.

En supposant que deux corps de masse M et m s'attirent avec la force de gravitation universelle,
Newton (1643-1727) va retrouver les lois de Kepler dans toute leur généralité. Newton va
construire ainsi une mécanique précise qui lui permet d'aller au-delà de Kepler. En particulier il
parvient à exprimer la valeur de la constante de la troisième loi.

Retrouvons la troisième loi de Kepler
Imaginons une planète (la Terre par exemple) animée d'une vitesse V par rapport au Soleil. Sans
la présence du Soleil la planète poursuivrait sa trajectoire en ligne droite. Mais la force
d'attraction va la faire dévier de la ligne droite. Cette force va provoquer une accélération
2
dynamique centripète en direction du centre du Soleil. Cette accélération s'exprime par V /D (voir
l'Encadré 2). Si cette accélération est provoquée par la gravitation, nous pourrons également
l'écrire à partir de la relation 5, mais écrite pour le Soleil. On obtient alors :

V 2 M Soleil
= G (11)
D D 2

(Rappelons que D, dans l'exemple pris, est le rayon de l'orbite de la planète autour du Soleil) En
simplifiant on trouve :

M
2
V = G Soleil (12)
D