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Encadré 2 : L'accélération d'un corps en mouvement circulaire uniforme

Nous allons calculer cette accélération en utilisant les notations différentielles, inventées par
Leibniz et Newton.
dv
L'accélération est par définition (voir encadré 1) : a = .
dt
Si la vitesse est constante en module, on peut la faire changer malgré tout, en modifiant
simplement sa direction. Si on désigne par i l'angle de la vitesse compté par rapport à la direction
de la vitesse au point A, alors la composante de l'accélération en direction du centre est : v.sini,
c'est-à-dire v.i (puisque l'angle est très petit). L'accélération centripète pour une déviation
infinitésimale di sera :
v ( d ) i × di
a = = v (E2.1)
dt dt
Cette accélération vers le centre, correspond à l'apparition, du fait de la courbure de la trajectoire,
d'une composante de v le long de la ligne AC.
Mais la petite longueur infinitésimale de l'arc de cercle parcouru pendant le temps dt est égale à :
dl = R. di (R est le rayon de courbure de la trajectoire - voir la figure F2.1)
Divisons par dt pour faire apparaître le module de la vitesse le long de l'arc de cercle et nous
dl di
obtenons : v = = R . Il suffit alors de reporter di/dt tiré de cette relation dans l'expression
dt dt
(E2.1) de l'accélération. On obtient l'accélération cherchée :
v 2
a = (E2.2)
R
v 2
En vertu de la relation (2), la force centripète que subit une masse m, est : F = m.
R

v
v

di

' '
' ' '
dl R ' \
I \
I \
di \
A C
\
\
\
\ I I
' ' ,
' , ,
' ' ' ....... _____ _ ,
Figure F2.1